Chương 2: Đại số Boolean và các thành phần máy tính liên quan của nó
2.1 Toán tử Boolean cơ bản
Giả sử rằng tôi (tác giả) cao và bạn (độc giả) cao. Nếu ai đó hỏi bạn rằng cả hai chúng tôi đều cao, bạn sẽ nói “Có” (đúng). Nếu anh ấy hỏi liệu cả hai chúng ta có lùn không, bạn sẽ nói “Không” (sai). Nếu bạn thấp và tôi cao, và anh ấy hỏi bạn hay tôi cao, câu trả lời của bạn sẽ là “Có” (đúng). Nếu anh ấy hỏi tôi và bạn có cao không thì bạn sẽ không có câu trả lời. Bạn có thể tiếp tục nói rằng không nên hỏi câu hỏi cuối cùng hoặc câu hỏi đó không có câu trả lời. Chà, tôi muốn bạn (người đọc) biết rằng ngày nay, trong những hoàn cảnh nhất định, câu hỏi nên được đặt ra.
Trong sinh học, một người có thể cao hoặc thấp. Chính những điều kiện “môi trường” khiến con người có chiều cao trung bình. Một nhà khoa học, George Boole, đã xác định một bộ câu trả lời hoặc quy tắc cho loại câu hỏi này. Chúng ta sẽ tìm hiểu các quy tắc này trong phần này của khóa học nghề nghiệp trực tuyến (chương). Những quy tắc này được sử dụng trong máy tính, lập trình, điện tử và viễn thông ngày nay. Trên thực tế, nếu không có những quy tắc này, bạn sẽ không có máy tính như ngày nay; bạn cũng sẽ không có lập trình, vì nó phổ biến ngày nay.
Đúng hay sai
Một tuyên bố đơn giản bằng ngôn ngữ của con người tự nó có thể đúng hoặc sai. Nếu tôi nói: “Tôi cao”, điều đó đúng hoặc sai. Nếu tôi nói “bạn cao”, điều đó đúng hoặc sai. Nếu tôi cao và bạn thấp, và câu hỏi được đặt ra là liệu cả bạn và tôi đều cao, trong Logic Boolean, câu trả lời là đúng hay sai. Nên cho cái nào trong hai cái này? Boole đã không thực sự trả lời câu hỏi này. Anh ấy chỉ đơn giản là đưa ra một bộ quy tắc để chúng tôi tuân theo. Tin tốt là khi bạn tuân theo các quy tắc này trong bối cảnh phù hợp, bạn sẽ không còn bất kỳ sự mơ hồ nào. Nhờ những quy tắc này mà chúng ta có máy tính và lập trình ngày nay. Các quy tắc được trao cho bạn bây giờ. Các quy tắc thực sự không thể được giải thích; bạn chỉ cần chấp nhận chúng. Các quy tắc có ba tiêu đề: AND, OR và NOT.
VÀ
Câu hỏi có thể được hỏi là cả bạn VÀ tôi đều cao. Chiều cao của tôi và chiều cao của bạn sau đó được kết hợp bởi bộ quy tắc AND. Đây là các quy tắc AND cần tuân theo:
sai VÀ sai = sai
sai VÀ đúng = sai
đúng VÀ sai = sai
đúng VÀ đúng = đúng
Bây giờ, giả sử chiều cao là đúng và chiều thấp là sai. Điều này có nghĩa là nếu tôi lùn VÀ bạn lùn thì bạn và tôi lùn. Nếu tôi thấp VÀ bạn cao thì bạn và tôi thấp; đó là câu trả lời Boolean mà bạn phải chấp nhận. Nếu tôi cao VÀ bạn thấp thì cả bạn và tôi đều thấp. Nếu tôi cao VÀ bạn cao thì bạn và tôi đều cao. Tất cả những điều này là quy tắc VÀ Boolean mà bạn (người đọc) phải chấp nhận.
HOẶC
Câu hỏi có thể được hỏi là bạn HOẶC tôi có cao không. Chiều cao của tôi và chiều cao của bạn sau đó được kết hợp bằng bộ quy tắc OR. Đây là các quy tắc HOẶC phải tuân theo:
sai HOẶC sai = sai
sai HOẶC đúng = đúng
đúng HOẶC sai = đúng
đúng HOẶC đúng = đúng
Một lần nữa, giả sử chiều cao là đúng và chiều thấp là sai. Điều này có nghĩa là nếu tôi lùn HOẶC bạn lùn, thì bạn HOẶC tôi lùn. Nếu tôi thấp HOẶC bạn cao, thì bạn hoặc tôi cao. Nếu tôi cao HOẶC bạn thấp, bạn HOẶC tôi cao. Nếu tôi cao HOẶC bạn cao, bạn hoặc tôi cao. Tất cả những điều này đều là quy tắc Boolean mà bạn phải chấp nhận.
KHÔNG
Bây giờ, trong logic Boolean, chỉ tồn tại hai trạng thái (có thể có câu trả lời). Nghĩa là, nếu bạn KHÔNG cao thì bạn thấp. Nếu bạn KHÔNG thấp thì bạn cao; không có gì khác. Đây là những quy tắc KHÔNG phải tuân theo:
KHÔNG sai = đúng
KHÔNG đúng = sai
Giả sử rằng bạn có một sợi dây (hoặc lò xo) mà bạn có thể kéo dài (kéo). Khi dây ở trạng thái tự nhiên, nếu tôi nói “KHÔNG ngắn”, bạn sẽ kéo dài nó ra; đó là cách giải thích. Trong khi sợi dây được kéo dài ra, nếu tôi nói, “KHÔNG dài”, bạn sẽ cho phép nó co lại; đó là cách giải thích.
Bạn phải ghi nhớ tất cả các quy tắc nhất định trong các danh mục khác nhau của chúng.
Nhiều hơn hai toán hạng
Trong ngôn ngữ máy tính, AND, OR và NOT đều được gọi là toán tử. Đối với toán tử NOT, bạn chỉ cần một toán hạng (giá trị cho toán tử) để có câu trả lời. Đối với toán tử AND hoặc OR, bạn có thể có nhiều hơn hai toán hạng. Các trường hợp trước hiển thị hai toán hạng cho AND và OR. Bạn có thể có ba toán hạng cho AND như sau:
sai VÀ sai VÀ sai = sai
sai VÀ sai VÀ đúng = sai
Đây là hai dòng; mỗi cái có hai toán tử AND. Thực tế có chín dòng khi toán hạng là ba. Với toán tử AND, chỉ dòng cuối cùng (dòng thứ chín) là đúng; tất cả các dòng trước đều sai. Lưu ý rằng với hai toán hạng cho AND, chỉ có dòng cuối cùng là đúng; cả ba dòng trước đều sai. Khi toán hạng là 4, có 16 dòng và chỉ dòng cuối cùng là đúng cho toán tử AND.
Mẫu cho AND và mẫu cho OR là khác nhau. Với ba toán hạng cho hai toán tử OR, cũng có chín dòng và lần này chỉ có dòng đầu tiên là sai. Dòng thứ hai đến dòng thứ chín là đúng. Lưu ý rằng với hai toán hạng cho OR, chỉ có dòng đầu tiên là đúng; cả ba dòng còn lại đều sai. Khi toán hạng là 4 cho OR thì cũng có 16 dòng.
Toán tử NOT chỉ xử lý một toán hạng. Điều KHÔNG sai là đúng và điều KHÔNG đúng là sai.
2.2 Bảng chân trị hai toán hạng và các thành phần điện tử của chúng
Trong toán học, có một chủ đề gọi là đại số. Một phần nhỏ của nó đã được nhìn thấy trong chương trước. Có một loại đại số gọi là đại số Boolean. Trong đại số Boolean, true được xác định bởi hai chữ số cơ sở là 1 và false được xác định bởi hai chữ số cơ sở là 0.
Các thành phần bên trong của máy tính là các thành phần điện tử. Đơn vị hệ thống của hệ thống máy tính có các linh kiện điện tử kỹ thuật số. Hoạt động AND được thực hiện bởi một linh kiện điện tử nhỏ gọi là cổng AND. Hoạt động OR được thực hiện bởi linh kiện điện tử nhỏ gọi là cổng OR. Hoạt động NOT được thực hiện bởi một linh kiện điện tử nhỏ gọi là cổng NOT. Quá nhiều cổng này có thể nằm trong chip Mạch tích hợp (IC).
VÀ Bảng chân lý và Cổng của nó
Bảng sau đây cung cấp bảng chân trị AND và ký hiệu cổng AND (mạch nhỏ):
Đối với cả bảng chân lý AND và cổng của nó, A cũng như B là hai biến đầu vào. Q là biến đầu ra. A là 1 hoặc 0. B là 1 hoặc 0. Q là 1 hoặc 0. Bảng AND chân lý với các số 1 và 0 giống như bố cục đúng/sai AND đúng trước đó (bảng). Phương trình AND là:
MỘT . B = Q
trong đó dấu chấm (.) có nghĩa là AND (Boolean). Dấu chấm có thể được bỏ qua để có AB = Q có nghĩa tương tự (AND).
Lưu ý: Các bit cho A và B trong bốn hàng, theo cặp, là bốn số đầu tiên trong cơ số hai bắt đầu từ 0 (hoặc 00), tức là 00, 01, 10, 11.
Bảng sau đây cung cấp bảng giá trị chân trị OR và ký hiệu cổng OR (mạch nhỏ) của nó:
Đối với cả bảng chân lý OR và cổng của nó, A cũng như B đều là hai biến đầu vào. Q là biến đầu ra. Bảng chân lý OR với các số 1 và 0 giống như bố cục (bảng) đúng/sai HOẶC đúng trước đó.
Phương trình OR là:
A + B = Q
Trong đó dấu + ở đây có nghĩa là Boolean OR chứ không phải phép cộng. Phương trình được đọc là “A hoặc B bằng Q”.
Bảng sau đây cung cấp bảng KHÔNG chân lý và ký hiệu cổng NOT (mạch nhỏ) của nó:
Bảng NOT chân lý hoặc cổng NOT chỉ có một đầu vào và một đầu ra. Khi đầu vào là 0, đầu ra là 1. Khi đầu vào là 1, đầu ra là 0. Cổng NOT thực hiện một kiểu đảo ngược. Biến đầu ra giống với biến đầu vào, nhưng có một thanh (lạch ngang). Bảng KHÔNG chân lý với các số 1 và 0 giống như cách bố trí (bảng) đúng/sai HOẶC đúng trước đó.
Phương trình KHÔNG là:
A = Q
Trong đó Q = A và vạch trên A ở đây có nghĩa là phần bù. Phần bù của 0 là 1 và phần bù của 1 là 0. Cổng NOT còn được gọi là cổng ĐẢO NGƯỢC.
Đây là các bảng chân lý cơ bản (hoặc gốc) và các cổng (mạch nhỏ) của chúng trong thiết bị điện tử kỹ thuật số (với đại số Boolean). Ba bảng chân lý khác được đưa ra trong hình minh họa sau và cổng của chúng nhằm mục đích thuận tiện và dựa trên ba bảng chân lý trước đó.
Có một bảng chân lý và cổng được dẫn xuất từ bảng và cổng chân lý AND. Chúng được gọi là bảng chân lý NAND (NO AND) và cổng NAND tương ứng. Bảng chân lý NAND và cổng NAND của nó là:
Để có được bảng chân lý NAND, hãy đi tới đầu ra của bảng chân lý AND và thay thế từng chữ số bằng phần bù của nó. Phần bù của 0 là 1 và phần bù của 1 là 0. Cổng NAND giống như cổng AND nhưng có một vòng tròn nhỏ trước dòng đầu ra. Phương trình NAND là:
Where có nghĩa là phần bù của kết quả của “A” VÀ “B”. Thanh (over-line) được thể hiện ở cổng bằng vòng tròn nhỏ. Lưu ý rằng dấu chấm giữa A và B có thể được bỏ qua.
Có một bảng chân lý và cổng khác được dẫn xuất từ bảng và cổng chân lý OR. Chúng được gọi là bảng chân lý NOR (viết tắt của NOT OR) và cổng NOR tương ứng. Bảng chân lý NOR và cổng NOR của nó là:
Để có được bảng chân lý NOR, hãy đi tới đầu ra của bảng chân lý OR và thay thế từng chữ số bằng phần bù của nó. Phần bù của 0 là 1 và phần bù của 1 là 0. Cổng NOR giống như cổng OR, nhưng có một vòng tròn nhỏ trước dòng đầu ra. Phương trình NOR là:
Ở đâu 
có nghĩa là phần bù của kết quả của “A” HOẶC “B”. Thanh (overline) được thể hiện ở cổng bằng vòng tròn nhỏ.
HOẶC độc quyền (XOR)
Bảng chân trị của cổng OR là:
Trong tiếng Anh thông thường, không rõ hàng cuối cùng của 1 HOẶC 1 sẽ cho 1 hay 0. Vì vậy, trong đại số Boolean, có hai loại bảng chân lý OR và hai cổng tương ứng. Với OR bình thường, hàng cuối cùng của 1 OR 1 cho kết quả 1. Loại OR khác là OR loại trừ (XOR) trong đó ba hàng đầu tiên giống với ba hàng đầu tiên của OR bình thường (bao gồm cả đầu ra). Tuy nhiên, đối với hàng thứ tư và cuối cùng, 1 HOẶC 1 cho kết quả 0.
Bảng sau đây cung cấp bảng chân lý XOR và ký hiệu cổng XOR (mạch nhỏ):
Đối với cả bảng chân lý XOR và cổng của nó, “A” cũng như “B” là hai biến đầu vào. “Q” là biến đầu ra.
Phương trình XOR là:
A ⊕ B = Q
Trong đó ⊕ ở đây có nghĩa là XOR Boolean.
OR bình thường có nghĩa là một hoặc cả hai. Độc quyền HOẶC có nghĩa là nghiêm ngặt hoặc và không phải cả hai.
2.3 Định đề Boolean
Các định đề là các giả định dựa trên đó các kết luận nhất định được rút ra. Có mười định đề Boolean bắt nguồn từ các phương trình AND, OR và NOT (bảng chân lý). Những phương trình này còn được gọi là hàm. Các chức năng cơ bản được sao chép lại như sau:
Đây là các hàm cơ bản (phương trình) trong đại số Boolean. Ba phương trình (hàm) khác sau đây không phải là các hàm cơ bản:
Mặc dù chức năng cuối cùng ở đây rất đặc biệt nhưng nó không được coi là chức năng cơ bản.
Các tiên đề Boolean như sau:
Từ hàm AND
1) 0 . 0 = 0
hai mươi . 1 = 0
3) 1. 0 = 0
4) 1. 1 = 1
Từ hàm OR
5) 0 + 0 = 0
6) 0 + 1 = 1
7) 1 + 0 = 1
8) 1 + 1 = 1
Từ chức năng KHÔNG
9) 0 = 1
10) 1 = 0
Ghi chú: Các định đề này chỉ là các dòng trong bảng AND, OR và NOT chân lý được biểu diễn một cách độc lập. Người đọc nên ghi nhớ các tiên đề đã cho.
2.4 Thuộc tính Boolean
Một tài sản giống như một đặc tính của một cái gì đó. Thuộc tính Boolean là các phương trình bắt nguồn từ các định đề Boolean. Trong phần này, các thuộc tính được đưa ra đơn giản mà không có dẫn xuất và sau đó được sử dụng. Có 25 tài sản được nhóm lại thành 10 đề mục như sau:
Thuộc tính của hàm AND
Thuộc tính 1:
Trong đó X có thể là 1 hoặc 0. Điều này có nghĩa là dù X là gì thì kết quả luôn là 0.
Lưu ý: Một biến không nhất thiết phải là A hoặc B hoặc C hoặc D. Một biến có thể là W hoặc X hoặc Y hoặc Z hoặc bất kỳ chữ cái nào khác.
Thuộc tính 2:
Trong đó X có thể là 1 hoặc 0. Lưu ý rằng sự khác biệt giữa tính chất 1 và tính chất 2 là ở vế trái của dấu bằng của cả hai phương trình, vị trí của X và 0 được hoán đổi cho nhau.
Thuộc tính 3:
Nếu X bằng 0 thì 0. 1 = 0. Nếu X bằng 1 thì 1. 1 = 1.
Thuộc tính 4:
Nếu X bằng 0 thì 1. 0 = 0. Nếu X là 1 thì 1. 1 = 1. Lưu ý rằng sự khác biệt giữa tính chất 3 và tính chất 4 là ở vế trái của cả hai phương trình, vị trí của X và 1 được hoán đổi cho nhau.
Thuộc tính của hàm OR
Thuộc tính 5:
Trong đó X có thể là 1 hoặc 0. Điều này có nghĩa là nếu X bằng 0 thì kết quả là 0. Nếu X là 1 thì kết quả là 1.
Thuộc tính 6:
Trong đó X có thể là 1 hoặc 0. Lưu ý rằng sự khác biệt giữa thuộc tính 5 và thuộc tính 6 là ở vế trái của cả hai phương trình, vị trí của X và 0 được hoán đổi cho nhau.
Thuộc tính 7:
Nếu X bằng 0 thì 0 + 1 = 1. Nếu X bằng 1 thì 1 + 1 = 1.
Thuộc tính 8:
Nếu X bằng 0 thì 1 + 0 = 1. Nếu X bằng 1 thì 1 + 1 = 1. Lưu ý rằng sự khác biệt giữa tính chất 7 và tính chất 8 là ở vế trái của cả hai phương trình, vị trí của X và 1 được hoán đổi cho nhau.
Các tính chất liên quan đến sự kết hợp của một biến với chính nó hoặc phần bù của nó
Thuộc tính 9: 
Nghĩa là: nếu X bằng 0 thì 0 . 0 = 0. Nếu X là 1 thì 1 . 1 = 1.
Thuộc tính 10:
Tức là: nếu X bằng 0 thì 0. 1 = 0. Nếu X bằng 1 thì 1. 0 = 0.
Đối với các biến liên tiếp, thuộc tính này trở thành:
Thuộc tính 11:
Nghĩa là: nếu X bằng 0 thì 0 + 0 = 0. Nếu X bằng 1 thì 1 + 1 = 1 (từ OR bình thường).
Thuộc tính 12:
Nghĩa là: nếu X bằng 0 thì 0 + 1 = 1. Nếu X = 1 thì 1 + 0 = 1.
Nghĩa là: nếu X bằng 0 thì 0 + 1 = 1. Nếu X = 1 thì 1 + 0 = 1.
Bổ sung kép
Thuộc tính 13:
Khi X ở vế trái bằng 0, X ở vế phải trở thành 0. Khi X ở vế phải là 1, X ở vế trái trở thành 1. Nói cách khác, phần bổ sung kép trả lại giá trị ban đầu.
Luật thay thế
Thuộc tính 14:
Điều này có nghĩa là việc hoán đổi toán hạng thứ nhất và toán hạng thứ hai cho toán tử AND, ở phía bên trái của dấu bằng, không thành vấn đề; câu trả lời vẫn như cũ sau khi việc trao đổi ở phía bên trái diễn ra. Phương trình này có thể được viết với các dấu chấm bị bỏ qua là: XY = YX.
Thuộc tính 15:
Giải thích ở đây giống như trong AND trước, nhưng nó dành cho toán tử OR.
Luật phân phối
Thuộc tính 16:
Ở đây có ba biến: X, Y và Z. Mỗi biến có thể là 1 hoặc 0. Ở phía bên trái của ký hiệu bằng nhau, dấu ngoặc có nghĩa là đánh giá những gì có trong chúng trước. Khi đó, AND là kết quả của X. Vế phải nói rằng X VÀ Y cùng nhau, HOẶC X VÀ Z cùng nhau, giống như vế trái. Lưu ý rằng toán tử dấu chấm cho AND bị bỏ qua hoàn toàn; và các biến được nối vẫn có nghĩa là AND.
Thuộc tính 17:
Thuộc tính này là phần mở rộng của thuộc tính 16 với biến được thêm vào là W.
Luật kết hợp
Thuộc tính 18:
Dấu ngoặc có nghĩa là đánh giá những gì trong ngoặc trước. Vì vậy, đối với biểu thức ở vế trái, nếu Y với Z được AND trước và X được AND với kết quả, thì kết quả cuối cùng ở vế trái sẽ giống với kết quả cuối cùng ở vế phải -phía bên trong đó X với Y được AND trước khi AND kết quả bằng Z. Lưu ý rằng các dấu chấm đã bị bỏ qua trong phương trình.
Thuộc tính 19:
Thuộc tính này được giải thích theo cách tương tự như thuộc tính 18, nhưng toán tử OR được sử dụng thay cho toán tử AND. Toán tử OR + không bao giờ bị bỏ qua khỏi biểu thức Boolean vì mục đích đơn giản. Mặt khác, toán tử AND có thể được bỏ qua và hai biến có thể được nối với nhau.
Hấp thụ
Thuộc tính 20:
Với phương trình này, dù Y là bao nhiêu thì vế phải sẽ luôn là X (được hấp thụ).
Thuộc tính 21:
Ngoài ra, với phương trình này, dù Y là bao nhiêu thì vế phải sẽ luôn là X (được hấp thụ). Tính chất 21 này giống với tính chất 20 là:
Ở đây, chúng tôi sử dụng luật phân phối và thực tế là X.X = X của tính chất 9.
Một bản sắc
Thuộc tính 22:
Điều này có nghĩa là đối với biểu thức X + Y, phần bù của X ở trước Y không làm thay đổi biểu thức.
Thuộc tính 23:
Điều này có nghĩa là đối với biểu thức XY, phần bù của X ORed với Y trong ngoặc, được thực hiện trước, không làm thay đổi biểu thức XY.
Định luật DeMorgan
Thuộc tính 24:
Điều này có nghĩa là cổng NOR (NOT OR) có kết quả tương tự như việc LƯU Ý hai đầu vào trước khi AND chúng.
Thuộc tính 25:
Điều này có nghĩa là cổng NAND (NOT AND) có kết quả tương tự như việc LƯU Ý hai đầu vào trước ORing.
Các minh họa được cung cấp là 25 thuộc tính. Chúng có thể được chứng minh bằng cách thay thế tất cả các giá trị khác nhau có thể có của 1 và 0 trong mỗi biểu thức ở vế trái để xem liệu biểu thức (hoặc kết quả) ở vế phải có thu được hay không. Các chứng minh được để lại như một bài tập cho người đọc.
2.5 Đơn giản hóa biểu thức ghép
Hai chức năng sau đây giống nhau:
Z là đầu ra và X, W và Y là đầu vào. Cái đầu tiên cần một cổng NAND, một cổng OR, một cổng AND, hai cổng NOT, một cổng OR và một cổng NOR. Cái thứ hai chỉ cần hai cổng AND. Phương trình đầu tiên là một phương trình có một biểu thức ghép, ở vế phải, đã được đơn giản hóa (rút gọn) thành một biểu thức bên phải duy nhất cho phương trình thứ hai.
Việc đơn giản hóa hoặc giảm bớt dẫn đến số lượng cổng ít hơn để thực hiện chức năng tương tự như một mạch điện. Mạch nhỏ hơn như vậy có thể là một phần của Mạch tích hợp (IC) hoặc là một mạch độc lập trên bề mặt bo mạch chủ máy tính.
Khi một hàm (phương trình) được đưa vào quá trình thiết kế, việc đơn giản hóa phải được thực hiện để giảm số lượng cổng và tạo ra một mạch rẻ hơn. Việc đơn giản hóa cần sử dụng một hoặc nhiều trong số 25 thuộc tính Boolean trước đó.
Ví dụ 2.51:
Giảm phương trình:
Ghi chú: Hai dấu ngoặc đơn cạnh nhau có nghĩa là dấu ngoặc đơn được AND (dấu chấm giữa chúng tùy ý không được viết).
Giải pháp:
Đối với các giải pháp, phần giải thích (lý do) cho mỗi bước được đưa ra ở bên phải bước, trong ngoặc. Người đọc nên đọc từng bước và sự biện minh của nó. Người đọc cũng nên tham khảo các thuộc tính trước đó khi đọc các bước rút gọn hàm.
Ví dụ 2.52:
Đơn giản hóa:
2.6 Tổng sản phẩm tối thiểu
Hai chức năng sau đây giống nhau:
Cả hai biểu thức bên phải của cả hai phương trình đều ở dạng Tổng Sản phẩm (SP). Một biểu thức rõ ràng được cho là ở dạng Tổng của Tích nếu nó không có dấu ngoặc đơn. Rõ ràng là hàm đầu tiên (phương trình) cần nhiều cổng hơn hàm thứ hai.
Biểu thức bên phải thứ nhất vẫn có thể được rút gọn để thu được hàm thứ hai. Biểu thức thứ hai ở vế phải không thể đơn giản hóa hơn nữa và vẫn được biểu thị dưới dạng Tổng của Sản phẩm (“bổ sung” các số hạng). Biểu thức vế phải thứ hai thực sự không thể đơn giản hóa thêm được nữa. Vì vậy, nó được cho là ở dạng Tổng sản phẩm tối thiểu (MSP).
Ví dụ 2.61:
Trước tiên hãy đưa hàm sau vào biểu mẫu Tổng Sản phẩm rồi đến biểu mẫu Tổng Sản phẩm Tối thiểu.
Giải pháp:
Khi giải các bài toán như thế này, một hoặc nhiều trong số 25 thuộc tính trước đó phải được sử dụng như minh họa trong giải pháp này:
2.6 Tổng sản phẩm tối thiểu
Hai chức năng sau đây giống nhau:
Cả hai biểu thức bên phải của cả hai phương trình đều ở dạng Tổng Sản phẩm (SP). Một biểu thức rõ ràng được cho là ở dạng Tổng của Tích nếu nó không có dấu ngoặc đơn. Rõ ràng là hàm đầu tiên (phương trình) cần nhiều cổng hơn hàm thứ hai.
Biểu thức bên phải thứ nhất vẫn có thể được rút gọn để thu được hàm thứ hai. Biểu thức thứ hai ở vế phải không thể đơn giản hóa hơn nữa và vẫn được biểu thị dưới dạng Tổng của Sản phẩm (“bổ sung” các số hạng). Biểu thức vế phải thứ hai thực sự không thể đơn giản hóa hơn nữa. Vì vậy, nó được cho là ở dạng Tổng sản phẩm tối thiểu (MSP).
Ví dụ 2.61:
Trước tiên hãy đưa hàm sau vào biểu mẫu Tổng Sản phẩm rồi đến biểu mẫu Tổng Sản phẩm Tối thiểu.
Giải pháp:
Khi giải các bài toán như thế này, một hoặc nhiều trong số 25 thuộc tính trước đó phải được sử dụng như minh họa trong giải pháp này:
Biểu thức cuối cùng này ở dạng Tổng sản phẩm (SP), nhưng không ở dạng Tổng sản phẩm tối thiểu (MSP). Phần đầu tiên của câu hỏi đã được trả lời. Giải pháp cho phần thứ hai như sau:
Hàm (phương trình) đơn giản hóa cuối cùng này ở dạng MSP và cần số lượng cổng để triển khai ít hơn so với dạng SP tương ứng. Hãy nhớ: SP có nghĩa là Tổng sản phẩm trong khi MSP có nghĩa là Tổng sản phẩm tối thiểu.
Ví dụ 2.62:
Mạch sau có đầu vào X, Y và W và Z là đầu ra. Tạo hàm Tổng sản phẩm (SP) (hàm tổng sản phẩm tối thiểu rõ ràng) cho Z. Sau đó, tạo ra Tổng sản phẩm (MSP) giảm thiểu (tối thiểu) thực sự. Sau đó, thực hiện mạch MSP (vẽ mạng cổng MSP).
Hình 2.61 Mạch Gating
Giải pháp:
Trước khi quá trình đơn giản hóa bắt đầu, biểu thức của Z phải được lấy theo X, Y và W. Hãy tham khảo ví dụ minh họa này từ sơ đồ:
Đây là biểu thức của Z theo X, Y và W. Sau đó, việc đơn giản hóa thành MSP biểu kiến có thể diễn ra. MSP rõ ràng là SP.
Phương trình (hàm) cuối cùng này ở dạng SP. Đó không phải là Tổng sản phẩm tối thiểu (chưa phải MSP). Vì vậy, việc giảm thiểu (giảm thiểu) phải tiếp tục.
Phương trình (hàm) cuối cùng này là Tổng sản phẩm tối thiểu (MSP) thực sự. Và mạch gating Tổng sản phẩm tối thiểu (tối thiểu hóa thực sự) là:
Hình 2.62 Mạch Gating MSP
Bình luận
Từ phân tích ở phần này, có thể thấy rằng không rõ Tổng Sản phẩm có phải là Tổng Sản phẩm Tối thiểu hay không. SP không hữu ích lắm. Đó là MSP rất hữu ích. Có một cách chắc chắn để có được MSP; đó là sử dụng Bản đồ Karnaugh. Bản đồ Karnaugh nằm ngoài phạm vi của khóa học nghề nghiệp trực tuyến này.
2.7 Vấn đề
Người đọc nên giải quyết tất cả các vấn đề trong một chương trước khi chuyển sang chương tiếp theo.
- Tạo các bảng chân lý AND, OR và NOT với các cổng tương ứng của chúng.
- Viết ra mười Định đề Boolean trong các danh mục khác nhau của chúng, đặt tên cho các danh mục.
- Không cần giải thích, hãy viết ra 26 tính chất của đại số Boole trong các loại khác nhau của chúng, đặt tên cho các loại đó.
- Rút gọn phương trình bằng cách sử dụng các thuộc tính Boolean và trích dẫn các danh mục được sử dụng.
- Rút gọn phương trình bằng cách sử dụng các thuộc tính Boolean và trích dẫn các danh mục được sử dụng.
- Sử dụng các thuộc tính Boolean và trích dẫn các danh mục được sử dụng, rút gọn phương trình sau - đầu tiên là Tổng Sản phẩm và sau đó là Tổng Sản phẩm Tối thiểu:
- Sử dụng các thuộc tính Boolean và trích dẫn các danh mục được sử dụng, rút gọn phương trình sau - đầu tiên là Tổng Sản phẩm và sau đó là Tổng Sản phẩm Tối thiểu:
